Bonjour,
Au vue de son comportement et de sa couleur, il doit être un mâle tourterelle rieuse. Cette espèce est purement domestique, et n'existant pas à l'état naturel, elle n'y a pas sa place. En effet, au vue de sa couleur, les risques pour lui de se faire tuer son grande. Et surtout, étant de la même famille que les tourterelles turques sauvages (grises), il pourra s'accoupler avec l'une d'entre elle. Or un mélange d'espèce n'est jamais bon.
Le mieux serait effectivement de l'attraper, vous pourrez le garder ou le donner, comme vous voulez.
Si vous le gardez, vous pouvez lui trouver une compagne chez un éleveur particulier (les oiseaux sont généralement moins cher et en meilleur santé que dans les animaleries).
Pour le nid, pas besoin d'en mettre (sauf si vous avez attraper l'oiseau et qu'il est dans une volière avec une chérie).